Voorbeeldopgaven

Voor het hoofdstuk analyse zijn de volgende oefeningen uit het boek uitgewerkt als voorbeeldopgaven:

Oefening 4d limiet van een rij
Oefening 5l limiet van een functie
Oefening 6c limiet van een functie: goniometrie
Oefening 7b limiet van een functie: definitie
Oefening 15k afgeleide
Oefening 20b functieonderzoek
Oefening 21j onbepaalde integraal
Oefening 27h onbepaalde integraal
Oefening 30b bepaalde integraal: oppervlakte

Oefening 4d.

We zoeken de limiet van de rij met als voorschrift:

We gebruiken de rekenregels voor convergente rijen zoals beschreven in paragraaf 6.1.3 van het boek:

top

Oefening 5l.

We zoeken de volgende limiet van een functie:

Teller en noemer hebben x = 1 als wortel. We proberen, zoals uitgelegd in paragraaf 6.2.6 van het boek, teller en noemer te vermenigvuldigen met een geschikte toegevoegde uitdrukking van de optredende wortelvorm. Een toegevoegde uitdrukking van de teller is:

Immers, met:

levert een merkwaardig product het volgende:

We vermenigvuldigen teller en noemer met deze toegevoegde uitdrukking:

top

Oefening 6c.

We zoeken de volgende limiet van een functie:

We manipuleren de breuk op zo een manier dat de volgende limiet afgezonderd wordt:

Gebruik makend van deze standaardlimiet, vinden we:

top

Oefening 7b.

Aan de hand van de definitie van de limiet (zie paragraaf 6.2.1 in het boek), willen we aantonen dat:

Neem ε > 0 willekeurig. We zoeken nu een δ > 0 zodat:

Neem een zekere x en δ zodat voldaan is aan |x-2| < δ.
We vertrekken van |x²-4| en proberen dit uit te drukken in functie van |x-2|:

(driehoeksongelijkheid)

Aangezien we |x²-4| < ε willen, moeten we nu δ bepalen zodat δ² + 4δ ≤ ε. Oplossen van de ongelijkheid voor δ > 0 levert:

Zie hiervoor paragraaf 1.6.5 van het boek over het tekenverloop. Op deze manier hebben we aangetoond dat we voor elke ε > 0, een δ > 0 kunnen vinden zodat aan de definitie voldaan is. Het volstaat δ te kiezen zodat deze niet groter is dan , maar wel strikt positief.

Het is mogelijk om wortelvormen te vermijden, door een extra voorwaarde op δ in te voeren. Indien we onze keuze beperken tot waarden van δ waarvoor δ < 1, dan geldt 0 < |x-2| < 1 waaruit volgt dat 1 < x < 3 en dus 3< x+2 < 5 . Indien we terugkeren naar |x²-4| = |x+2|.|x-2|, dan kunnen we de eerste factor nu naar boven afschatten door 5, de tweede weer door δ:

We zien dat we nu voldoen aan |x²-4| < ε indien we 5δ ≤ ε nemen, dus δ ≤ ε/5. Bovendien hadden we δ < 1 genomen, dus aan de definitie is voldaan indien we δ kiezen zodat δ < 1 en δ ≤ ε/5.

top

Oefening 15k.

We bepalen de afgeleide van de volgende functie:

Deze functie is de samengestelde van de functie x/2, tan(x) en ln(x). We kennen de afgeleide van deze drie functies (zie lijst met basisafgeleiden in paragraaf 6.5 op pagina 171 van het boek) en we passen de kettingregel toe (zie pagina 170):

top

Oefening 20b.

Maak een volledig functieonderzoek van de functie met als voorschrift:

De functie is gedefinieerd voor alle reële getallen behalve x = 2, aangezien de noemer dan 0 wordt. Om de nulpunten van f(x) te vinden, stellen we de teller gelijk aan 0 en lossen op naar x:

Dit zijn geen nulpunten van de noemer, dus het zijn de nulpunten van de functie. Het tekenverloop van de functie kan gevonden worden met de methode beschreven in paragraaf 1.6.6 van het boek. Dit levert:

De functie heeft een pool in x = 2, we verwachten daar een verticale asymptoot. We bepalen de volgende limieten:

Een rationale functie waarvan de graad van de teller precies één groter is dan de graad van de noemer, heeft een schuine asymptoot. We bepalen de vergelijking y = ax + b van deze asymptoot en vinden a aan de hand van de limiet:

We kunnen nu b bepalen aan de hand van de volgende limiet:

Er is bijgevolg een schuine asymptoot met als vergelijking y = x/2 + 1.

Vervolgens bepalen we de eerste en tweede afgeleide van f(x). Toepassen van de eigenschap voor de afgeleide van een breuk, levert:

De teller van de eerste afgeleide kunnen we ontbinden in factoren: x²-4x+3 = (x-1)(x-3). We vinden zo direct de nulpunten, namelijk x = 1 en x = 3. De tweede afgeleide heeft geen nulpunten, maar net zoals de eerste afgeleide wel een pool in x = 2. Het tekenverloop van beide functies is dan:

Uit het tekenverloop van de eerste afgeleide halen we informatie over de extreme waarden van f. We bekijken de punten waar de afgeleide 0 wordt. In x = 1 gaat f over van stijgen naar dalen, de functie bereikt er dus een (lokaal) maximum. In x = 3 gaat f over van dalen naar stijgen, de functie bereikt er dus een (lokaal) minimum.

Het teken van de tweede afgeleide toont dat de functie voor x < 2 concaaf en voor x > 2 convex is. De tweede afgeleide wisselt wel van teken, maar is niet afleidbaar in x = 2 en heeft er ook geen verticale raaklijn. Er zijn dus geen buigpunten en bijgevolg ook geen buigraaklijnen.

Op basis van al deze gegevens, zijn we nu in staat om een nauwkeurige schets van de grafiek te maken.

top

Oefening 21j.

We bepalen de volgende integraal:

De integrand is een rationale functie waarbij de graad van de teller niet kleiner is dan die van de noemer (zie paragraaf 6.7.4 in het boek). Daarom voeren we eerst de Euclidische deling uit van de veeltermbreuk. Hoewel het mogelijk is de deling expliciet op te schrijven (pagina 32 in het boek), kunnen we ook dit trucje toepassen:

Het bepalen van de integraal is dan eenvoudig:

 

Lineariteit van de integraal
(p. 181 in het boek)

Basisintegralen
(p. 180 in het boek)

top

Oefening 27h.

We bepalen de volgende integraal:

We passen partiële integratie (p. 182 in het boek) toe en stellen daarvoor:

Zodat met deze keuze geldt:

Eerst bepalen we nog de afgeleide van f(x):

Nu kunnen we de formule van partiële integratie toepassen:

Om deze laatste integraal uit te rekenen, passen we een substitutie toe (p. 181 in het boek) :

Op het teken en een factor na, is dit de integrand. Er geldt eveneens:

We kunnen de laatste integraal in (*) nu herschrijven in functie van t en uitrekenen:

Deze laatste uitdrukking kunnen we nog wat vereenvoudigen:

Ten slotte nemen we dit terug samen, invullen in (*) levert:

top

Oefening 30b.

We zoeken de oppervlakte van het gebied begrensd door de functies:

Zoals beschreven op pagina 202 van het boek, vinden we de oppervlakte door |f(x)-g(x)| te integreren. Om te weten over welk interval we moeten integreren, bepalen we eerst de snijpunten van de twee functies:

Deze vergelijking oplossen kan met de techniek beschreven in paragraaf 1.6.2 van het boek. De oplossingen van de vergelijking zijn x=1, x=-2+√2 en x=-2-√2. Op het interval [-2-√2,-2+√2] is f(x)g(x) en op het interval [-2+√2,1] is g(x)f(x).

Om de integraal uit te rekenen, splitsen we het interval op in twee:

De grafieken van f en g en het ingesloten gebied zijn weergegeven in onderstaande figuur:

top